로또 1등 확률이 "814만분의 1"이라는 이야기는 많이 들어 보셨을 겁니다. 이 글에서는 그 숫자가 어디서 나오는지 처음부터 계산해 봅니다. 2등부터 5등까지의 확률, 그리고 1,000원을 냈을 때 평균적으로 얼마가 돌아오는지도 같은 방법으로 풀어 보겠습니다. 필요한 것은 중학교 수학의 "조합" 하나뿐입니다.
45개 중 6개를 고르는 방법은 몇 가지일까
로또 6/45는 1부터 45까지의 번호 중 6개를 고르는 게임입니다. 고르는 순서는 상관없습니다. 3·17·25를 고르든 25·3·17을 고르든 같은 조합입니다.
먼저 순서를 따져서 세어 봅시다. 첫 번호는 45가지, 둘째는 남은 44가지, 셋째는 43가지 식으로 고를 수 있으니 순서가 있는 경우의 수는 다음과 같습니다.
45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40 = 5,864,443,200그런데 같은 6개 번호를 늘어놓는 순서는 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720가지입니다. 위 숫자에는 같은 조합이 720번씩 중복으로 들어 있으므로 720으로 나눕니다.
5,864,443,200 ÷ 720 = 8,145,060이것이 로또에서 가능한 모든 조합의 수이고, 수학 기호로는 C(45, 6)이라고 씁니다. 추첨에서는 이 중 정확히 한 조합이 1등 번호가 되므로 1등 확률은 8,145,060분의 1입니다. 판매점에서 자동으로 받든, 직접 고르든, 이 사이트의 추첨기로 뽑든 어떤 조합이든 확률은 똑같습니다.
2등부터 5등까지의 확률
추첨에서는 당첨번호 6개와 보너스 번호 1개, 모두 7개의 공이 나옵니다. 45개 중 7개를 빼면 당첨과 무관한 번호가 38개 남습니다. 이 구분을 머릿속에 두고 등수별로 "내 조합이 그 등수가 되는 경우의 수"를 세면 됩니다.
- 2등 (5개 + 보너스): 당첨번호 6개 중 5개를 맞히는 방법이 6가지이고, 나머지 한 자리는 반드시 보너스 번호여야 하므로 1가지입니다. 6 × 1 = 6가지.
- 3등 (5개): 당첨번호 5개를 맞히는 방법 6가지에, 나머지 한 자리는 당첨번호도 보너스도 아닌 38개 중 하나입니다. 6 × 38 = 228가지.
- 4등 (4개): 당첨번호 6개 중 4개를 고르는 방법 C(6, 4) = 15가지에, 나머지 두 자리는 당첨번호가 아닌 39개 중 2개입니다. 4등과 5등은 보너스 번호를 따지지 않으므로 이 39개에 보너스 번호도 들어갑니다. C(39, 2) = 741이므로 15 × 741 = 11,115가지.
- 5등 (3개): C(6, 3) = 20가지에 C(39, 3) = 9,139가지를 곱해 182,780가지.
각 경우의 수를 전체 8,145,060으로 나누면 확률이 됩니다.
| 등수 | 조건 | 경우의 수 | 확률 |
|---|---|---|---|
| 1등 | 6개 일치 | 1 | 1 / 8,145,060 |
| 2등 | 5개 + 보너스 일치 | 6 | 1 / 1,357,510 |
| 3등 | 5개 일치 | 228 | 1 / 35,724 |
| 4등 | 4개 일치 | 11,115 | 1 / 733 |
| 5등 | 3개 일치 | 182,780 | 1 / 45 |
| 합계 | 5등 이상 | 194,130 | 1 / 42 |
이 값들은 동행복권이 공식 홈페이지에 안내하는 확률(1등 1/8,145,060, 전체 1/42)과 정확히 같습니다. 한 게임을 사면 42번에 한 번꼴로 5등 이상이 되고, 대부분은 5등입니다.
숫자가 너무 커서 감이 안 올 때
8,145,060분의 1은 감으로 잡기 어려운 숫자입니다. 몇 가지로 바꿔 보겠습니다.
- 매주 한 게임씩 산다면, 1등이 한 번 나올 때까지 평균 8,145,060주, 곧 약 15만 6천 년이 걸립니다.
- 매주 다섯 게임(5,000원)씩 50년 동안 사면 모두 13,000게임이고, 그동안 1등이 한 번이라도 될 확률은 약 0.16%입니다.
- 반대로 5등 이상은 1/42이라서, 매주 한 게임씩 1년(52회) 사면 한 번 이상 5등 이상이 될 확률이 약 71%입니다.
아래 계산기에 구입 습관을 넣어 직접 확인해 볼 수 있습니다. 같은 회차에는 서로 다른 조합을 산다고 가정했습니다.
구입 습관별 당첨 확률 계산기
1,000원을 내면 평균 얼마가 돌아올까
동행복권 안내에 따르면 로또 판매액의 50%가 당첨금으로 쓰이고, 40% 이상은 복권기금으로 공익사업에 쓰입니다. 모든 구매자를 평균하면 1,000원어치를 살 때마다 약 500원이 당첨금으로 돌아가는 셈입니다. 이 500원이 어떻게 나뉘는지도 확률로 계산할 수 있습니다.
- 4등 몫: 50,000원 × 11,115 / 8,145,060 ≈ 68원
- 5등 몫: 5,000원 × 182,780 / 8,145,060 ≈ 112원
- 1~3등 몫: 나머지 약 320원
4·5등은 금액이 고정이라 한 게임당 약 180원이 돌아옵니다. 1~3등 몫 약 320원은 회차마다 판매액, 당첨자 수, 이월 여부에 따라 금액이 달라집니다. 평균은 500원이지만 이 평균은 아주 드문 1등 당첨금이 크게 끌어올린 값입니다. 대부분의 구매자는 대부분의 회차에 한 푼도 돌려받지 못합니다.
자주 나오는 오해
"자동보다 수동이(또는 그 반대가) 잘 맞는다"
어떤 방법으로 고르든 한 조합의 1등 확률은 1/8,145,060입니다. 추첨기는 그 조합이 어떻게 선택되었는지 알지 못합니다.
"1, 2, 3, 4, 5, 6 같은 번호는 절대 안 나온다"
이 조합도 다른 모든 조합과 똑같이 8,145,060분의 1입니다. 이런 조합이 "안 나올 것 같은" 이유는, 우리가 기억할 만한 모양의 조합이 아주 적고 나머지 수백만 개는 무작위로 보이는 조합이기 때문입니다. 흔한 모양과 드문 모양의 비율은 통계 페이지의 홀짝·합계·연속번호 분포에서 볼 수 있습니다.
"같은 번호를 여러 장 사면 확률이 올라간다"
같은 조합을 여러 장 사도 1등 확률은 그대로입니다. 여전히 그 한 조합이 나와야 하기 때문입니다. 달라지는 것은 1등이 되었을 때 받는 몫입니다. 1~3등 당첨금은 당첨된 게임 수로 나누므로, 같은 조합을 두 장 가지고 있으면 두 게임 몫을 받습니다. 확률을 높이려면 서로 다른 조합을 사야 하고, 그만큼 비용이 똑같은 비율로 늘어납니다.
출처
- 동행복권, 로또6/45 소개 (당첨구조, 당첨확률, 판매액 배분) — dhlottery.co.kr
- 확률 값은 이 글의 조합 계산으로 직접 구했으며, 공식 안내값과 일치함을 확인했습니다.